Two Merged Sequences（CF 1144 G）（将序列拆分成升序序列和降序序列两部分）-DP

题目链接；
参考；

思路

构建状态表示：
$dp[i][1]$ 代表在前 i 位中，若第 i 位为升序序列结尾，此时降序序列结尾的最大值；
$op[i][1]$ 代表若第 i 位为升序序列结尾，$dp[i][1]$取当前值时，第 i-1 位在升序序列 / 降序序列（1升0降）；
$dp[i][0]$ 代表在前 i 位中，若第 i 位为降序序列结尾，此时升序序列结尾的最小值；
$op[i][0]$ 代表若第 i 位为降序序列结尾，$dp[i][0]$取当前值时，第 i-1 位在升序序列 / 降序序列（1升0降）；

定义初值：
$dp[i][1]=-inf,dp[i][1]=inf$ 即每一位默认是不能参与序列的，直至转移方程时满足条件才可更新；
特殊地， $dp[1][1]=inf,dp[1][0]=-inf$ 即第一位既可以在升序序列，也可以在降序序列；

状态转移方程：
$dp[i][1] = dp[i - 1][1],op[i][1] = 1;(a[i - 1] < a[i] \&\& dp[i][1] < dp[i - 1][1])$ 此位接在前位后做升序序列
$dp[i][1] = a[i - 1],op[i][1] = 0;(dp[i - 1][0] < a[i] \&\& dp[i][1] < a[i - 1])$ 前位做降序序列结尾，此位做升序序列结尾
$dp[i][0] = dp[i - 1][0],op[i][0] = 0;(a[i - 1] > a[i] \&\& dp[i][0] > dp[i - 1][0])$ 此位接在前位后做降序序列
$dp[i][0] = a[i - 1],op[i][0] = 1;(dp[i - 1][1] > a[i] \&\& dp[i][0] > a[i - 1])$ 前位做升序序列结尾，此位做降序序列结尾
在上面的两个限制条件中，前一个条件决定了此种情况的可行性，后一个条件决定了做出更新的必要性；

对于dp后的结果，只要 $dp[i][j]$ 不是初始值，即代表此种情况存在可行解，通过 $op[i][j]$ 标记的方向回溯即可；

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x7f7f7f7f;
int a[200005];
int dp[200005][2];
int op[200005][2];
int opt[200005];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    dp[1][1] = inf, dp[1][0] = -inf;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i][1] = -inf, dp[i][0] = inf;
        if (a[i - 1] < a[i] && dp[i][1] < dp[i - 1][1])
        {
            dp[i][1] = dp[i - 1][1];
            op[i][1] = 1;
        }
        if (dp[i - 1][0] < a[i] && dp[i][1] < a[i - 1])
        {
            dp[i][1] = a[i - 1];
            op[i][1] = 0;
        }
        if (a[i - 1] > a[i] && dp[i][0] > dp[i - 1][0])
        {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            op[i][0] = 0;
        }
        if (dp[i - 1][1] > a[i] && dp[i][0] > a[i - 1])
        {
            dp[i][0] = a[i - 1];
            op[i][0] = 1;
        }
    }
    if (dp[n][1] != -inf)
    {
        printf("YES\n");
        for (int i = n, optmp = 1; i >= 1; i--)
        {
            opt[i] = optmp;
            optmp = op[i][optmp];
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            printf("%d ", opt[i] != 1);
        }
    }
    else if (dp[n][0] != inf)
    {
        printf("YES\n");
        for (int i = n, optmp = 0; i >= 1; i--)
        {
            opt[i] = optmp;
            optmp = op[i][optmp];
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            printf("%d ", opt[i] != 1);
        }
    }
    else
        printf("NO");
    return 0;
}